기초 수학 · 5

선형계

선형계 A x = b 는 A 의 열들을 어떻게 조합해야 b 가 되는지 묻는다. 정확한 답이 있으면 solve 가 찾고, 방정식이 미지수보다 많아 정확한 답이 없으면 최소제곱이 가장 가까운 답을 찾는다. 아래 모든 것은 이 페이지에서, 양 언어로 돈다.

A x = b 를 정확히 풀기

정사각·가역인 A 라면 A.solve(b) 가 b 에 도달하는 유일한 x 를 준다. 결과를 읽는 것은 GPU 에서 오는 값이라 await 다.

정확한 답이 없을 때: 최소제곱

네 점, 미지수 둘(절편과 기울기)인 직선: 네 점을 모두 지나는 직선은 없으니 정확한 x 도 없다. lstsq 는 가장 적게 빗나가는 답 — 최적합 — 을 준다.

적합 보기: 최소제곱 직선

네 점은 한 직선 위에 있지 않으므로 lstsq 가 그 모두에 가장 가까운 직선을 찾는다. 여기 그린 것이 최소제곱이 고른 직선 — 최선의 타협이다.

직접: 선형계 풀기

이 블록은 잔차 max|A·x − b| 를 보고하는데, 이 값은 x 가 실제로 선형계를 풀 때만 0 이다. 지금 x 는 그냥 b 다. 진짜 해로 바꿔라.

기억할 것

• 정사각·가역 A 의 A x = b 는 정확한 해 하나: A.solve(b).
• 방정식이 미지수보다 많으면 대개 정확한 답이 없다; A.lstsq(b) 가 가장 가까운 적합을 준다.
• 최소제곱은 잔차 제곱합을 최소화한다 — 모든 점에 가장 가까운 직선.
• borch 에서는 A.solve(b)·A.lstsq(b); 둘 다 await.