기초 수학 · 4

Norm · 거리 · 투영

norm 은 벡터를 하나의 길이로 바꾼다. 거기서 거리(차의 norm), 단위벡터(norm 으로 나누기), 투영(한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 뻗는가)이 나온다.

L2 norm 은 길이

v.norm() 은 제곱합의 제곱근 — 원점에서 벡터까지의 직선 길이다.

거리는 차의 norm

두 점 사이 거리는 ‖a − b‖. 같은 연산, 앞에 뺄셈 하나.

투영

a 를 b 에 투영한 스칼라는 a·b / ‖b‖ — a 가 b 방향으로 얼마나 가는가. 단위 축에 대해서는 그 좌표 그 자체다.

거리 보기: 쌍별 행렬

네 점을 잡고 모든 점-대-점 거리를 잰다 — ‖P_i − P_j‖, 브로드캐스팅으로 만든다. 대각선은 어둡고(자기 자신과의 거리 0), 멀리 떨어진 쌍은 밝다.

직접: 단위벡터 만들기

단위벡터는 같은 방향을 가리키되 길이가 1 이다. v 를 자신의 norm 으로 나눠 ‖u‖ = 1 이 되게 하라.

기억할 것

• L2 norm 은 벡터의 길이, 제곱합의 제곱근이다.
• 두 점 사이 거리는 차의 norm, ‖a − b‖.
• 단위벡터는 v 를 자신의 norm 으로 나눈 것; a 를 b 에 투영한 스칼라는 a·b / ‖b‖.
• borch 에서는 v.norm()·a.sub(b).norm().